来源：朗读君数学（ID:langdujun）
容斥原理
容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab。
例1
一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有4人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”
没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
分析与解答
完成语文作业的有37人，完成数学作业的有4人，一共有37＋4=79人，多于全班人数。
这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。
所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
例
某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有5人，答对第二题的有3人，两题都答对的有15人。问多少个同学两题都答得不对？
分析与解答
已知答对第一题的有5人，两题都答对的有15人，可以求出只答对第一题的有5－15=10人。
又已知答对第二题的有3人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：10＋3=33人。
所以，两题都答得不对的有36－33=3人。
例3
某班有56人，参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有7人，如果两科都没有参加的有5人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？
分析与解答
要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：56－5=31人，再求两科竞赛同时参加的人数：8＋7－31=4人。
例4
在1到的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
分析与解答
从1到的自然数中，减去5或6的倍数的个数。
从1到的自然数中，5的倍数有÷5=0个，6的倍数有16个（÷6=16……4），其中既是5的倍数又是6的倍数（即5和6的公倍数）的数有3个（÷30=3……10）。
因此，是6或5的倍数的个数是16＋0－3=33个，既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是：－33=67个。
例5
光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有4幅不是五年级的，有幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
分析与解答
由题意知，4幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。
4＋=46幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的10幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以，即可求出其他年级参展作品的总数。
（4＋－10）÷=18幅。
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